费马在《算术》这本书里写出了一条美妙的结论：已经知道根据勾股定理，任意三角形的两条直角边长a，b和斜边长c都是含三个未知数的方程a2+b2=c2的一组解，而每一组勾股数都是这个方程的正整数解。
最直观简单缕一下，可以这样展示。
勾股定理是什么
勾股定理从何而来
勾股定理如何巧妙证明呢
先看一个直观的证明吧
青朱出如图（富有东方智慧）：原著中并无一个文字，揭示数形关系。
2.赵爽弦图（赵爽勾股圆方图）
3.邹元治证明：
5.欧几里得证明（思维奇妙）：
6.达芬奇证明（画家的数学思维）：
常见的还有传说中“毕达哥拉斯的证法”、“总统证法”（美国第20任总统加菲尔德的证法）、“辛卜松证法”等。
勾股定理的推广有哪些
众多领域奇特应用
除此之外，这个定理甚至还能应用到一些你无法想象的领域，边长的“长度”可以是距离，能量，工作，时间，甚至是在社交网络中的人们...
1.社交网络
麦卡福定理（MetcalfesLaw），说网络的价值与n（关系的数量）有关。如下所示：
50M的网络＝40M的网络+30M的网络。
令人惊讶的是，第二项网络与第三项网络共有70M的人，但是它们并不是简单的相加，反倒是与一个有五千万人的网络价值相当。
2.表面积
球面的表面积是4πr。所以就有：半径为50的球面积＝半径为40的球面积+半径为30的球面积
我们并不经常用到球面积，但是船身有着一样的关系。船身就像是畸形化的球面，对吧？
假设船只的形状都相似，给50英尺的游艇喷漆所用的颜料正好可以给40英尺与30英尺的游艇喷漆！
3.物理学
如果你还记得在物理课上学过的，一个质量为m，速度为v的物体的动能等于mv/2。
因此有:迈的能量＝迈的能量+迈的能量。
加速一个子弹到迈的能量，可以把两个同样的子弹分别加速到迈与迈。......
总而言之，勾股定理绝非表面那么浅显，这个定理还有许多有意思的地方等着我们去发掘呢~，其实，往往也是那些看似简单的公式定理，最能推动这个世界的发展，而那些看起来枯燥无味的定义，背后往往也有一个鲜为人知的趣事。
结束语
勾股定理是初等几何中最精彩、最著名、最有用的定理．它的重要意义表现在哪些方面呢？有专家是这样说的：
1.它的证明是论证几何的发端；
2.它是历史第一个把数与形联系起来的定理，即它是第一个把几何与代数联系起来的定理；
3.它导致了无理数的发现，引起第一次数学危机，大大加深了人们对数的理解；
4.勾股定理是历史上第一个给出了完全解答的不定方程.它引出了费马大定理；
5.它是欧氏几何的基础定理，并有巨大的实用价值.
这条定理不仅在几何学中是一颗光彩夺目的明珠，被誉为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他科学领域也有着广泛的应用.
年5月15日，尼加拉瓜发行了一套题为“改变世界面貌的十个数学公式”邮票，这十个数学公式由著名数学家选出的，勾股定理是其中之首.
今天世界上许多科学家都在试探寻找与其他星球“人”交流的“语言”，我国著名数学家华罗庚曾建议，发射勾股定理的图形，如果宇宙“人”也拥有文明的话，他们应该能识别这种“语言”.可见勾股定理的重要意义.